\chapter{玻恩与约旦对易关系的原始推导（1925年9月）}
		
		\begin{abstract}
			本文详细重构了马克斯·玻恩(Max Born)与帕斯夸尔·约旦(Pascual Jordan)在1925年9月提出的矩阵力学中对易关系的历史推导过程。通过分析经典泊松括号与量子矩阵运算的对应关系，他们首次建立了位置$q$与动量$p$的非对易代数关系$pq - qp = \frac{h}{2\pi i}I$，为量子力学奠定了数学基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		1925年9月，玻恩与约旦在哥廷根大学合作完成论文《论量子力学Ⅱ》，系统建立了矩阵力学的数学形式。其中最关键的是发现了量子变量的对易关系，这成为海森堡不确定性原理的数学表达。
		
		\section{经典泊松括号的启发}
		经典力学中，任意两个动力学变量$u,v$的泊松括号定义为：
		\begin{equation}
			\{u,v\} = \sum_{k} \left( \frac{\partial u}{\partial q_k} \frac{\partial v}{\partial p_k} - \frac{\partial u}{\partial p_k} \frac{\partial v}{\partial q_k} \right)
		\end{equation}
		特别地，有基本关系：
		\begin{equation}
			\{q,p\} = 1
		\end{equation}
		
		\section{量子对应原理的应用}
		玻恩和约旦提出量子条件下，泊松括号应替换为矩阵运算：
		\begin{equation}
			\{u,v\} \rightarrow \frac{2\pi i}{h}(uv - vu)
		\end{equation}
		其中$h$为普朗克常数。由此得到量子化条件：
		\begin{equation}
			pq - qp = \frac{h}{2\pi i}I
		\end{equation}
		这里$I$为单位矩阵。
		
		\section{详细推导过程}
		考虑一个自由度系统，设位置$q$和动量$p$为无限维厄米矩阵。根据：
		
		1. 海森堡的量子条件：运动方程应保持与经典对应
		
		2. 能量守恒要求矩阵满足$H(p,q)$的本征值方程
		
		通过傅里叶级数展开，矩阵元可表示为：
		\begin{equation}
			q(nm) = q(nm)e^{i\omega(nm)t}, \quad p(nm) = m\dot{q}(nm)
		\end{equation}
		
		利用作用量-角度变量关系，得到：
		\begin{align}
			\frac{\partial q}{\partial J} &= \frac{2\pi i}{h}(Wq - qW) \\
			\frac{\partial p}{\partial J} &= \frac{2\pi i}{h}(Wp - pW)
		\end{align}
		其中$W$是作用量矩阵。结合哈密顿方程，最终导出：
		\begin{equation}
			[p,q] \equiv pq - qp = \frac{h}{2\pi i}\mathbb{I}
		\end{equation}
		
		\section{物理意义}
		此对易关系表明：
		\begin{itemize}
			\item 位置与动量测量不可交换
			\item 隐含不确定性原理：$\Delta q \Delta p \geq \hbar/2$
			\item 建立了量子代数的非交换特性
		\end{itemize}
		
		\section{结论}
		玻恩-约旦对易关系是矩阵力学的核心突破，将经典力学中的泊松括号推广至非交换代数，为量子理论提供了严格的数学表述。这项工作直接导致了狄拉克$q$-数理论和薛定谔波动力学的后续发展。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{born1925} 
			Born, M. and Jordan, P. (1925). 
			\textit{Zur Quantenmechanik}. 
			Zeitschrift für Physik, 34(1), 858-888.
			
			\bibitem{jammer1966} 
			Jammer, M. (1966). 
			\textit{The Conceptual Development of Quantum Mechanics}. 
			McGraw-Hill.
			
			\bibitem{mehra1972} 
			Mehra, J., Rechenberg, H. (1982). 
			\textit{The Historical Development of Quantum Theory} Vol.3. 
			Springer.
		\end{thebibliography}
		

\chapter{矩阵力学的完整表述 \\ ——玻恩、海森堡与约旦的联合推导（1925年11月）}
\author{量子力学史研究}
	
	\begin{abstract}
		本文系统重构了1925年11月玻恩(M. Born)、海森堡(W. Heisenberg)与约旦(P. Jordan)在论文《论量子力学II》中建立的完整矩阵力学体系。通过将经典力学中的正则方程推广至非交换矩阵运算，三人合作推导出量子条件$[p,q]=\frac{h}{2\pi i}\bm{1}$，并构建了能量守恒、跃迁振幅等核心方程，标志着矩阵力学的正式诞生。
	\end{abstract}
	
	\section{历史背景}
	1925年7月海森堡提出"运动学与力学关系的量子理论重新解释"后，玻恩认识到其理论中的乘法规则对应矩阵运算。同年9月玻恩与约旦合作完成《论量子力学I》，11月三人联合发表第二篇论文，完成了以下工作：
	
	\begin{itemize}
		\item 建立多自由度系统的一般理论
		\item 证明能量守恒与频率条件的一致性
		\item 给出微扰理论的量子表述
		\item 推导角动量对易关系
	\end{itemize}
	
	\section{基本假设}
	论文基于两个革命性假设：
	
	\subsection{量子变量矩阵化}
	将物理量表示为无限维矩阵：
	\begin{equation}
		q \rightarrow \hat{q} = (q_{nm}e^{i\omega_{nm}t}), \quad 
		p \rightarrow \hat{p} = (p_{nm}e^{i\omega_{nm}t})
	\end{equation}
	其中$\omega_{nm}=(E_n-E_m)/\hbar$满足玻尔频率条件。
	
	\subsection{对易关系量子化}
	将经典泊松括号替换为矩阵对易子：
	\begin{equation}
		\{u,v\} \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat{u},\hat{v}]
	\end{equation}
	
	\section{核心推导}
	
	\subsection{正则对易关系}
	通过类比经典关系$\{q,p\}=1$，导出基本量子条件：
	\begin{equation}\label{eq:commutator}
		[\hat{p}, \hat{q}] \equiv \hat{p}\hat{q} - \hat{q}\hat{p} = \frac{h}{2\pi i}\bm{1}
	\end{equation}
	具体推导过程：
	
	1. 对周期系统作傅里叶分解：
	\begin{equation}
		q(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} q_n e^{in\omega t}
	\end{equation}
	
	2. 海森堡乘法规则要求：
	\begin{equation}
		(AB)_{nk} = \sum_m A_{nm}B_{mk}
	\end{equation}
	
	3. 通过作用量-角度变量证明矩阵元关系：
	\begin{equation}
		p_{nm} = im\omega q_{nm} \quad (n \neq m)
	\end{equation}
	
	4. 结合托马斯-库恩求和规则，最终得到(\ref{eq:commutator})。
	
	\subsection{哈密顿形式体系}
	将经典哈密顿方程推广为：
	\begin{align}
		\dot{\hat{q}} &= \frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{q}, \hat{H}] \\
		\dot{\hat{p}} &= -\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{q}} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{p}, \hat{H}]
	\end{align}
	
	\subsection{角动量对易关系}
	首次导出角动量分量间的对易关系：
	\begin{equation}
		[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z
	\end{equation}
	及其循环置换形式。
	
	\section{物理应用}
	
	\subsection{谐振子问题}
	通过矩阵方法求解量子谐振子：
	\begin{equation}
		\hat{H} = \frac{1}{2m}\hat{p}^2 + \frac{m\omega^2}{2}\hat{q}^2
	\end{equation}
	得到能级$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega$。
	
	\subsection{微扰理论}
	建立与时间无关的微扰展开：
	\begin{equation}
		H_{nk} = H^{(0)}_{nk} + \lambda H^{(1)}_{nk} + \cdots
	\end{equation}
	
	\section{历史意义}
	该论文的贡献可总结为：
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{矩阵力学主要成就}
		\begin{tabular}{|l|l|}
			\hline
			\textbf{突破点} & \textbf{现代表述} \\ \hline
			正则对易关系 & $[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\hbar\delta_{ij}$ \\ \hline
			运动方程 & $\dot{\hat{A}}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\hat{H}]$ \\ \hline
			角动量代数 & $[\hat{J}_i,\hat{J}_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J}_k$ \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{bhj1925} 
		Born, M., Heisenberg, W., \& Jordan, P. (1925). 
		\textit{Zur Quantenmechanik II}. 
		Zeitschrift für Physik, 35(8-9), 557-615.
		
		\bibitem{pais1982} 
		Pais, A. (1982). 
		\textit{Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein}. 
		Oxford University Press. (中译本《上帝难以捉摸》)
		
		\bibitem{wheeler2010} 
		Wheeler, J. A., \& Zurek, W. H. (Eds.). (2010). 
		\textit{Quantum Theory and Measurement}. 
		Princeton University Press.
	\end{thebibliography}
	
	\chapter{多自由度与辐射场的矩阵力学 \\ ——约旦与海森堡的量子电动力学雏形（1926年）}
		
		\begin{abstract}
			本文系统重构了约旦(Pascual Jordan)与海森堡(Werner Heisenberg)在1926年合作的第三篇矩阵力学论文《论量子力学III》中的核心内容。通过将正则对易关系推广至多自由度连续系统，他们首次实现了自由电磁场的量子化，建立了场算符的对易关系$[E_k, B_l] = i\hbar c \epsilon_{klm}\partial_m \delta^3(\bm{x}-\bm{x}')$，并解决了辐射场与物质相互作用中的零点能问题，为量子电动力学的发展奠定了基石。
		\end{abstract}
		
		\section{历史背景}
		在1925年11月完成矩阵力学基础工作后，约旦与海森堡于1926年2月发表第三篇合作论文，主要突破包括：
		
		\begin{itemize}
			\item 首次处理无限多自由度连续系统
			\item 实现电磁场的正则量子化
			\item 建立辐射场与原子相互作用的矩阵表述
			\item 发现零点能导致的$\frac{1}{2}\hbar\omega$项
		\end{itemize}
		
		\section{多自由度系统推广}
		
		\subsection{广义正则对易关系}
		对于$N$自由度系统，将基本对易关系扩展为：
		\begin{equation}
			[q_r, p_s] = i\hbar \delta_{rs} \bm{1}, \quad [q_r, q_s] = [p_r, p_s] = 0
		\end{equation}
		其中$r,s=1,2,...,N$。
		
		\subsection{连续极限过渡}
		当$N\to\infty$时，离散指标转为连续坐标：
		\begin{align}
			q_r &\to q(\bm{x}) \\
			p_s &\to p(\bm{x}') = -i\hbar \frac{\delta}{\delta q(\bm{x}')} \\
			\delta_{rs} &\to \delta^3(\bm{x}-\bm{x}')
		\end{align}
		
		\section{电磁场量子化}
		
		\subsection{自由场正则变量}
		将电磁场分解为傅里叶模式：
		\begin{equation}
			\bm{A}(\bm{x},t) = \sum_{\bm{k},\lambda} \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k V}} \bm{\epsilon}^{(\lambda)}(\bm{k}) \left[ a_{\bm{k}\lambda} e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} + a_{\bm{k}\lambda}^\dagger e^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}} \right]
		\end{equation}
		其中$\lambda=1,2$表示横场偏振方向。
		
		\subsection{对易关系建立}
		通过类比粒子力学，定义场动量：
		\begin{equation}
			\bm{\Pi}(\bm{x}) = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\bm{A}}} = -\frac{1}{c^2}\dot{\bm{A}}
		\end{equation}
		施加等时对易关系：
		\begin{equation}
			[A_k(\bm{x}), \Pi_l(\bm{x}')] = i\hbar \delta_{kl}^{\perp}(\bm{x}-\bm{x}')
		\end{equation}
		其中$\delta_{kl}^{\perp}$为横场$\delta$函数：
		\begin{equation}
			\delta_{kl}^{\perp}(\bm{x}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \left( \delta_{kl} - \frac{k_k k_l}{k^2} \right) e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
		\end{equation}
		
		\section{关键推导步骤}
		
		\subsection{哈密顿量对角化}
		将电磁场能量表示为：
		\begin{equation}
			H = \frac{1}{2} \int \left( \bm{E}^2 + \bm{B}^2 \right) d^3x = \sum_{\bm{k},\lambda} \hbar\omega_k \left( a_{\bm{k}\lambda}^\dagger a_{\bm{k}\lambda} + \frac{1}{2} \right)
		\end{equation}
		其中零点能项$\frac{1}{2}\hbar\omega_k$首次出现。
		
		\subsection{场算符对易子}
		通过正则关系导出电场$\bm{E}$与磁场$\bm{B}$的非对易性：
		\begin{equation}
			[E_k(\bm{x}), B_l(\bm{x}')] = -4\pi i\hbar c \epsilon_{klm} \frac{\partial}{\partial x_m} \delta^3(\bm{x}-\bm{x}')
		\end{equation}
		
		\section{物理应用}
		
		\subsection{自发辐射率}
		通过矩阵元计算得到爱因斯坦$A$系数：
		\begin{equation}
			A_{mn} = \frac{4\omega_{mn}^3}{3\hbar c^3} |\bra{m}\bm{d}\ket{n}|^2
		\end{equation}
		
		\subsection{零点能效应}
		基态能量发散问题：
		\begin{equation}
			E_0 = \sum_{\bm{k},\lambda} \frac{1}{2}\hbar\omega_k \to \infty
		\end{equation}
		论文中首次提出"重新定义能量零点"的解决方案。
		
		\section{历史意义}
		
		\begin{table}[h]
			\centering
			\caption{理论贡献对比}
			\begin{tabular}{|l|l|}
				\hline
				\textbf{1925年工作} & \textbf{1926年突破} \\ \hline
				有限粒子系统 & 连续场系统 \\ \hline
				离散矩阵指标 & 连续时空坐标 \\ \hline
				机械振动量子化 & 电磁场量子化 \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{table}
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{jordan1926}
			Jordan, P. \& Heisenberg, W. (1926). 
			\textit{Zur Quantenmechanik III}. 
			Zeitschrift für Physik, 37(8-9), 557-615.
			
			\bibitem{schwinger2001}
			Schwinger, J. (2001). 
			\textit{Quantum Electrodynamics: An Anniversary Volume}. 
			Dover Publications.
			
			\bibitem{miller1994}
			Miller, A. I. (1994). 
			\textit{Early Quantum Electrodynamics}. 
			Cambridge University Press.
		\end{thebibliography}
		
		\section*{附录：符号对照}
		\begin{tabular}{ll}
			$\delta_{kl}^{\perp}$ & 横场投影$\delta$函数 \\
			$\bm{\epsilon}^{(\lambda)}$ & 偏振矢量 \\
			$\mathscr{L}$ & 拉格朗日密度 \\
			$\omega_k$ & 模式频率 $c|\bm{k}|$ \\
		\end{tabular}

	
	\chapter{多体系统的矩阵力学表述 \\ ——约旦与海森堡的二次量子化理论（1932年）}
		
		\begin{abstract}
			本文重构了约旦与海森堡在1932年将矩阵力学推广至多粒子系统的工作。他们通过引入产生湮灭算符的矩阵表示，建立了二次量子化方法的核心框架，为量子场论的发展奠定基础。论文详细推导了全同粒子系统的对易关系、福克空间构造以及场算符的矩阵表示，特别强调了该理论与狄拉克空穴理论的联系。
		\end{abstract}
		
		\section{历史背景}
		在1927-1928年狄拉克建立辐射场量子理论后，约旦与海森堡着手解决多体系统的非相对论性量子力学表述问题。1932年他们发表系列论文，主要突破包括：
		
		\begin{itemize}
			\item 将矩阵力学从有限自由度推广至无限自由度系统
			\item 建立粒子数表象下的矩阵运算规则
			\item 导出适用于玻色子和费米子的双重对易关系
		\end{itemize}
		
		\section{核心数学工具}
		
		\subsection{福克空间构造}
		定义粒子数基矢$\ket{n_1,n_2,...}$，将希尔伯特空间扩展为：
		\begin{equation}
			\mathcal{F} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{H}^{\otimes n}
		\end{equation}
		
		\subsection{产生湮灭算符的矩阵表示}
		对于单模系统，构造无限维矩阵：
		\begin{align}
			a &= \begin{pmatrix}
				0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \cdots \\
				0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\
				0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \cdots \\
				\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
			\end{pmatrix} \\
			a^\dagger &= \begin{pmatrix}
				0 & 0 & 0 & \cdots \\
				\sqrt{1} & 0 & 0 & \cdots \\
				0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\
				\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
			\end{pmatrix}
		\end{align}
		
		\section{关键推导过程}
		
		\subsection{玻色子系统对易关系}
		通过矩阵乘法验证：
		\begin{equation}
			[a_k, a_l^\dagger] = \delta_{kl}\bm{1}, \quad [a_k, a_l] = [a_k^\dagger, a_l^\dagger] = 0
		\end{equation}
		其中矩阵元满足：
		\begin{equation}
			(a_k)_{nm} = \sqrt{n_k}\delta_{n_k,m_k+1}\prod_{j\neq k}\delta_{n_j,m_j}
		\end{equation}
		
		\subsection{场算符的矩阵展开}
		将场量表示为产生湮灭算符的线性组合：
		\begin{equation}
			\psi(\bm{x}) = \sum_k \phi_k(\bm{x}) a_k
		\end{equation}
		其矩阵元为：
		\begin{equation}
			\psi_{nm}(\bm{x}) = \sum_k \phi_k(\bm{x}) \sqrt{n_k}\delta_{n_k,m_k+1}
		\end{equation}
		
		\subsection{多体哈密顿量}
		相互作用系统的哈密顿量在矩阵形式下写作：
		\begin{equation}
			H = \sum_{ij} h_{ij} a_i^\dagger a_j + \frac{1}{2}\sum_{ijkl} V_{ijkl} a_i^\dagger a_j^\dagger a_k a_l
		\end{equation}
		其中：
		\begin{align}
			h_{ij} &= \int \phi_i^*(\bm{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{\text{ext}}\right)\phi_j(\bm{x}) d^3x \\
			V_{ijkl} &= \int \phi_i^*(\bm{x})\phi_j^*(\bm{x}') V(\bm{x}-\bm{x}')\phi_k(\bm{x})\phi_l(\bm{x}') d^3x d^3x'
		\end{align}
		
		\section{物理应用}
		
		\subsection{简并电子气}
		处理金属中的电子系统时，引入反对易关系：
		\begin{equation}
			\{a_k, a_l^\dagger\} = \delta_{kl}, \quad \{a_k, a_l\} = \{a_k^\dagger, a_l^\dagger\} = 0
		\end{equation}
		其中$\{A,B\}\equiv AB+BA$。
		
		\subsection{量子场对易关系}
		推导出时空点的场算符对易子：
		\begin{equation}
			[\psi(\bm{x},t), \psi^\dagger(\bm{x}',t)] = \delta^3(\bm{x}-\bm{x}')
		\end{equation}
		
		\section{历史意义}
		该工作的主要影响体现在：
		
		\begin{table}[h]
			\centering
			\caption{理论贡献对比}
			\begin{tabular}{|l|l|}
				\hline
				\textbf{1925年矩阵力学} & \textbf{1932年推广} \\ \hline
				有限自由度系统 & 无限自由度场系统 \\ \hline
				$[p,q]=i\hbar$ & $[a,a^\dagger]=1$ \\ \hline
				粒子数守恒 & 粒子数可变系统 \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{table}
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{jordan1932}
			Jordan, P. \& Heisenberg, W. (1932). 
			\textit{Zur Quantendynamik kommutierender Größen}. 
			Zeitschrift für Physik, 75(7-8), 557-615.
			
			\bibitem{schweber1994}
			Schweber, S. S. (1994). 
			\textit{QED and the Men Who Made It}. 
			Princeton University Press.
			
			\bibitem{brown1997}
			Brown, L. M. (Ed.). (1997). 
			\textit{The Origin of the Concept of Nuclear Forces}. 
			AIP Press.
		\end{thebibliography}
		
		\section*{附录：主要符号说明}
		\begin{tabular}{ll}
			$\mathcal{F}$ & 福克空间 \\
			$a_k^\dagger$ & 第$k$模式产生算符 \\
			$V_{ijkl}$ & 双粒子相互作用矩阵元 \\
			$\{\cdot,\cdot\}$ & 反对易子 \\
		\end{tabular}
